南宁家教-初中常见的勾股数有哪些

发表日期:2023-03-26 | 作者： | 电话：156-7892-4125 | 累计浏览：

南宁家教老师：

最近有很多同学在问初中常见的勾股数有哪些？南宁家教小编为大家总结了一篇相关内容的文章，其中介绍了勾股数常见的组合以及勾股数的概念和完全公式。对勾股数这个知识点掌握不熟练的同学，赶快跟随小编一起来了解一下吧。

初中常见的勾股数有哪些

初中常见的勾股数

常见组合

3，4，5 ： 勾三股四弦五

5，12，13 ： 5·21（12）记一生（13）

6，8，10： 连续的偶数

8，15，17 ： 八月十五在一起（17）

特殊组合

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

20以内

3 4 5；5 12 13； 6 8 10；8，15，17；9 12 15

勾股数的概念

勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。

完全公式

a=m，b=(m^2/k-k) / 2，c=(m^2/k+k) / 2

其中m ≥3

当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}

当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2/2的所有小于m的偶数因子}

基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2 / k-k) / 2，c=(m^2 /k+k) / 2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C

A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

以上就是由南宁家教小编为同学们带来的初中常见的勾股数有哪些的内容，希望能够帮助到大家。相信同学们通过阅读这篇文章，已经对勾股数常见的组合以及解题的方法有所了解了，同学们可以将这篇文章中介绍的方法运用到平时的练习和考试的题目中。